二叉搜索树总结

二叉搜索树(BST)是二叉树的一种特殊表示形式,它满足如下特性:

  1. 每个节点中的值必须大于(或等于)存储在其左侧子树中的任何值。
  2. 每个节点中的值必须小于(或等于)存储在其右子树中的任何值。

下面是一个二叉搜索树的例子:

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kthLargest方法

该方法的作用是返回二叉搜索树第k大的节点

在每个节点中放置一个计数器,以表示以此节点为根的子树中有多少个节点。

对于二叉搜索树的每个节点来说,它的左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值,右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值。

换言之,对于二叉搜索树的每个节点来说,若其左子树共有n个节点,那么该节点是组成二叉搜索树的有序数组中第n + 1个值。若其右子树有m个节点,那么该节点是二叉搜索树的第m+1大的节点。

具体操作如动图

kthSmallest的思路与其类似。

前驱(predecessor)/后继(successor)

以后继为例:

  1. 若一个节点有右子树,那么该节点的后继节点是其右子树中val值最小的节点

  2. 若一个节点没有右子树,那么判断该节点和其父节点的关系:

    2.1 若该节点是其父节点的左孩子,那么该节点的后继结点即为其父节点

    2.2 若该节点是其父节点的右孩子,那么需要沿着其父亲节点一直向树的顶端寻找,直到找到一个节点P,P节点是其父节点Q的左孩子,那么Q就是该节点的后继节点

相关代码

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public class  {

private class TreeNode {
int val;
TreeNode left;
TreeNode right;
int cnt = 1;

public TreeNode(int val) {
this.val = val;
}


public String toString() {
return "TreeNode{" +
"val=" + val +
'}';
}
}

private TreeNode root;


private TreeNode add(TreeNode node, int v) {
if (node == null) {
return new TreeNode(v);
}
if (v > node.val) {
node.right = add(node.right, v);
node.cnt++;
} else {
node.cnt++;
node.left = add(node.left, v);
}
return node;
}

public void add(int v) {
root = add(root, v);
}

private TreeNode getMin(TreeNode node) {
while (node.left != null) {
node = node.left;
}
return node;
}

public int getMin() {
if (root == null) {
return -1;
}
TreeNode minNode = getMin(root);
return minNode.val;
}

private TreeNode getMax(TreeNode node) {
while (node.right != null) {
node = node.right;
}
return node;
}

public int getMax() {
if (root == null) {
return -1;
}
TreeNode maxNode = getMax(root);
return maxNode.val;
}

public void delMin() {
if (root != null) {
root = delMin(root);
}
}


private TreeNode delMin(TreeNode node) {

if (node.left == null) {
return node.right;
}
node.cnt--;
node.left = delMin(node.left);
return node;
}

public void delMax() {
if (root != null) {
root = delMax(root);
}
}

// 删除最大节点
private TreeNode delMax(TreeNode node) {
if (node.right == null) {
return node.left;
}
node.cnt--;
node.right = delMax(node.right);
return node;
}


public void remove(int v) {
root = remove(root, v);
}

// 在以node为根的二叉搜索树中,删除任意一个节点 (Hibbard deletion)
private TreeNode remove(TreeNode node, int v) {
if (node == null) {
return null;
}
if (node.val > v) {
node.cnt--;
node.left = remove(node.left, v);
return node;
}else if (node.val < v) {
node.cnt--;
node.right = remove(node.right, v);
return node;
} else {
// node.val == v
if (node.left == null) {
return node.right;
}
if (node.right == null) {
return node.left;
}
TreeNode s = getMin(node.right);
s.right = delMin(node.right);
s.left = node.left;
int lsons = (s.left != null)? s.left.cnt :0;
int rsons = (s.right != null)? s.right.cnt :0;
s.cnt = lsons + rsons + 1;
return s;
}
}

// 在以node为根的二叉搜索树中, 查找值为n的节点
public TreeNode find(TreeNode node, int n) {
if (node == null){
return null;
}
if (n == node.val) {
return node;
} else if(n > node.val) {
return find(node.right, n);
} else {
return find(node.left, n);
}
}


// 在以node为根的二叉搜索树中,求值为n的节点的排名
private int rank(TreeNode node, int n) {
if (n == node.val) {
if (node.left != null) {
return node.left.cnt + 1;
} else {
return 1;
}
} else if (n > node.val) {
return rank(node.right, n) + rank(node, node.val);
} else {
return rank(node.left, n);
}
}

public int rank(int n) {
return rank(root, n);
}

// 在以node为根的二叉搜索树中,返回二叉搜索树第k小的节点
private TreeNode kthSmallest(TreeNode node, int k) {
if (node == null) {
return null;
}
int pivot = (node.left != null)?node.left.cnt+1:1;
if (pivot == k) {
return node;
} else if (pivot > k) {
return kthSmallest(node.left, k);
} else {
return kthSmallest(node.right, k-pivot);

}
}

// 在以node为根的二叉搜索树中,返回二叉搜索树第k大的节点
private TreeNode kthLargest(TreeNode node, int k) {
if (node == null) {
return null;
}
int pivot = (node.right != null)?node.right.cnt+1:1;
if (pivot == k) {
return node;
} else if (pivot < k) {
return kthLargest(node.left, k-pivot);
} else {
return kthLargest(node.right, k);

}
}

public TreeNode kthSmallest(int k) {
return kthSmallest(root, k);
}

public TreeNode kthLargest(int k) {
return kthLargest(root, k);
}

// 查找key的前驱
// 如果不存在key的前驱(key不存在, 或者key是整棵二叉树中的最小值), 则返回-1
public int predecessor(int key){

TreeNode node = find(root, key);
// 如果key所在的节点不存在, 则key没有前驱, 返回-1
if(node == null)
return -1;

// 如果key所在的节点左子树不为空,则其左子树的最大值为key的前驱
if(node.left != null)
return getMax(node.left).val;

// 否则, key的前驱在从根节点到key的路径上, 在这个路径上寻找到比key小的最大值, 即为key的前驱
TreeNode preNode = predecessorFromAncestor(root, key);
return preNode == null ? -1 : preNode.val;
}

// 查找key的后继
// 如果不存在key的后继(key不存在, 或者key是整棵二叉树中的最大值), 则返回-1
public int successor(int key){

TreeNode node = find(root, key);
// 如果key所在的节点不存在, 则key没有前驱, 返回-1
if(node == null)
return -1;

// 如果key所在的节点右子树不为空,则其右子树的最小值为key的后继
if(node.right != null)
return getMin(node.right).val;

// 否则, key的后继在从根节点到key的路径上, 在这个路径上寻找到比key大的最小值, 即为key的后继
TreeNode sucNode = successorFromAncestor(root, key);
return sucNode == null ? -1 : sucNode.val;
}

// 在以node为根的二叉搜索树中, 寻找key的祖先中,比key小的最大值所在节点, 递归算法
// 算法调用前已保证key存在在以node为根的二叉树中
private TreeNode predecessorFromAncestor(TreeNode node, int key){

if(node.val == key)
return null;

if(node.val > key)
// 如果当前节点大于key, 则当前节点不可能是比key小的最大值
// 向下搜索到的结果直接返回
return predecessorFromAncestor(node.left, key);
else{
assert node.val < key;
// 如果当前节点小于key, 则当前节点有可能是比key小的最大值
// 向右继续搜索, 将结果存储到tempNode中
TreeNode tempNode = predecessorFromAncestor(node.right, key);
if(tempNode != null)
return tempNode;
else
// 如果tempNode为空, 则当前节点即为结果
return node;
}
}

// 在以node为根的二叉搜索树中, 寻找key的祖先中,比key大的最小值所在节点, 递归算法
// 算法调用前已保证key存在在以node为根的二叉树中
private TreeNode successorFromAncestor(TreeNode node, int key){

if(node.val == key)
return null;

if(node.val < key)
// 如果当前节点小于key, 则当前节点不可能是比key大的最小值
// 向下搜索到的结果直接返回
return successorFromAncestor(node.right, key);
else{
assert(key < node.val);
// 如果当前节点大于key, 则当前节点有可能是比key大的最小值
// 向左继续搜索, 将结果存储到tempNode中
TreeNode tempNode = successorFromAncestor(node.left, key);
if(tempNode != null)
return tempNode;
else
// 如果tempNode为空, 则当前节点即为结果
return node;
}
}
}