HDU-6601 Everything Is Generated in Equal Probability(打表)

题意

给你三个函数

Subsequence(Array)函数返回随机从Array选的一个子序列,可以为空,即每个子序列等概率选取。

CntInversionPairs(Array)函数返回Array的逆序对对数。

Calculate(Array)函数是个递归函数。

给你一个N,n从[1,N]中随机选,在随机从1~n的全排列中选一个序列,再计算Calculate(Array)。

问最终结果的期望值。
$$
1 le N le 3000
$$

题解

首先可以发现
$$
ans_n=frac{n-1}{n}ans_{n-1}p_{n}
$$
$p_n$表示n已经确定,没有从[1,N]随机选n这个操作下的最终结果的期望值。

对样例分析,可以发现$p_1=0,p_2=frac23,p_3=2$

然后,就不会了。

不过可以通过打表模拟计算出$p_4=3.9998698000=4,p_5=6.6656517000=frac{20}3$

发现有些数的分母为3,所以全部化为以3为分母的分数。
$$
p_1=frac03,p_2=frac23,p_3=frac63,p_4=frac{12}3,p_5=frac{20}3
$$
所以大胆猜测
$$
p_i=frac{i*(i-1)}3
$$
然后就可以$AC$了。

代码

打表

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000][10];
int tmp[10];
mt19937 rng((unsigned long long)new char);
int ran(int l,int r)
{
int tmp=rng()%(r-l+1);
if (tmp<0) tmp+=(r-l+1);
return l+tmp;
}
int get(int a[],int len)
{
int ans=0;
for (int i=0;i<len;i++)
{
for (int j=0;j<i;j++)
{
if (a[i]<a[j]) ans++;
}
}
return ans;
}
int f(int a[],int len)
{
// printf("hin");
if (len<=1) return 0;
int ans=get(a,len);
int cc=0;
for (int i=0;i<len;i++)
{
if (ran(0,1)==0)
{
a[cc++]=a[i];
}
}
return ans+f(a,cc);
}
int main()
{
int cnt=0;
int n=5;
for (int i=0;i<n;i++) tmp[i]=i;
do
{
for (int i=0;i<n;i++)
{
a[cnt][i]=tmp[i];
}
cnt++;
}
while (next_permutation(tmp,tmp+n));
int step=10000000;
int count=0;
for (int i=0;i<step;i++)
{
int c=ran(0,cnt-1);
for (int i=0;i<n;i++) tmp[i]=a[c][i];
count+=f(tmp,n);
}
printf("%.10fn",1.0*count/10000000);
return 0;
}

AC代码

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
long long poww(long long a,long long b)
{
long long res=1;
while (b)
{
if (b&1) res=res*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return res;
}
long long a[3005];
int main()
{
a[0]=0;
for (int i=1;i<3005;i++)
{
a[i]=1ll*i*(i-1)%mod*poww(3,mod-2)%mod;
}
for (int i=1;i<3005;i++)
{
a[i]=1ll*(i-1)*poww(i,mod-2)%mod*a[i-1]%mod+poww(i,mod-2)*a[i]%mod;
a[i]%=mod;
a[i]+=mod;
a[i]%=mod;
}
int n;
while (scanf("%d",&n)!=EOF)
{
printf("%lldn",a[n]);
}
return 0;
}